Martin Dubravka dołączył do Manchesteru United w ostatnim dniu letniego okienka transferowego w 2022 roku na zasadzie wypożyczenia. Słowacki golkiper na rok przeniósł się na Old Trafford z Newcastle United.
Dubravka piłkarską karierę zaczynał w swoim rodzinnym mieście Żylina na Słowacji. Młody golkiper pokonał wszystkie szczeble klubowej akademii i w sezonie 2009/2010 zadebiutował w pierwszym zespole. Sięgnął też wtedy po mistrzostwo kraju, rozgrywając 26 spotkań. Barw MŠK Žilina bronił do 2014 roku.
W styczniu 2014 roku Dubravka przeniósł się do duńskiego Esbjerga, gdzie występował do 2016 roku. Kolejnym przystankiem w karierze Słowaka były Czechy. W sezonie 2016/2017 grał w Slovanie Liberec, a po roku gry trafił do Sparty Praga. To właśnie w stolicy Czech został zauważony przez skautów Newcastle United.
Dubravka przeniósł się do Anglii w styczniu 2018 roku. W Premier League zadebiutował 11 lutego, zachowując czyste konto w spotkaniu przeciwko Manchesterowi United na St James Park. W ekipie Srok był pewnym punktem drużyny przez pięć sezonów.
Latem 2022 roku Manchester United rozglądał się za nowym bramkarzem, bo na wypożyczenie do Nottingham Forest udał się Dean Henderson. Czerwone Diabły postanowiły zastąpić Anglika i sprowadzić 33-letniego Dubravkę jako konkurencję dla Davida de Gei. W taki oto sposób reprezentant Słowacji trafił na Old Trafford.
