Czeski golkiper reprezentował barwy Manchesteru United od stycznia 2018 roku. Na Old Trafford trafił z FC Slovacko. W zespole U-21 zanotował blisko 50 występów w rozgrywkach Premier League 2.
Kovar sezon 2022/2023 spędził na wypożyczeniu w Sparcie Praga, z którą sięgnął po mistrzostwo Czech. Wcześniej 23-latek był wypożyczony do Swindon Town.
Matej Kovar w pierwszej drużynie Manchesteru United nie zanotował oficjalnego występu. W tegorocznym przedsezonowym tournée wystąpił w dwóch sparingach – z Leeds United i Olympique Lyon.
Angielskie media spekulują, że Manchester United za Kovara otrzyma około 8 milionów funtów.Manchester United we wtorek poinformował, że szeregi klubu opuścił też drugi czeski bramkarz. Ondrej Mastny zasilił szeregi FC Vysočina Igława, czyli swojego byłego klubu.