Lisandro Martinez pierwsze piłkarskie kroki stawiał w argentyńskich klubach Urquiza i Libertad, które mieszczą się w jego rodzinnym Gualeguay. W wieku 16 lat talent zawodnika zauważyli skauci słynnego Newell's Old Boys i Argentyńczyk trafił do drużyny młodzieżowej klubu z Rosario. Debiut w seniorskim składzie zanotował w ostatnim meczu sezonu 2016/2017, kiedy to rozegrał spotkanie w pełnym wymiarze czasowym przeciwko Godoy Cruz.
W sierpniu 2017 roku Newell's Old Boys postanowiło wypożyczyć Martineza do Defensa y Justicia, gdzie w pierwszym sezonie zanotował 21 występów i pokazał się z tak dobrej strony, że klub z Buenos Aires postanowił wykupić 50% praw do karty zawodnika.
Kolejny dobry sezon w wykonaniu Martineza zaowocował transferem z Defensa y Justicia do Ajaxu Amsterdam. Holenderski klub zapłacił za walecznego środkowego defensora 7 milionów euro w maju 2019 roku. Martinez związał się z Ajaxem czteroletnim kontraktem. Trenerem holenderskiego klubu był wówczas Erik ten Hag.
Martinez dobrą grą w Ajaxie Amsterdam zapracował sobie na powołanie do reprezentacji Argentyny. Debiut w kadrze narodowej zanotował 22 marca 2019 roku, w towarzyskim starciu przeciwko Wenezueli (1:3).
Argentyńczyk szybko zaczął odgrywać ważną rolę w zespole budowanym przez Erika ten Haga w Amsterdamie. W sezonie 2020/2021 pomógł holenderskiej drużynie zgarnąć dublet – wygrać mistrzostwo i puchar kraju. Jeszcze lepszy w wykonaniu Martineza był sezon 2021/2022, kiedy to został wybrany najlepszym piłkarzem sezonu w Ajaxie.
Martinez przez trzy lata występów w Ajaxie rozegrał 120 spotkań i sięgnął po cztery klubowe trofea. W 2021 roku z reprezentacją Argentyny wywalczył też Copa America.
Gdy Erik ten Hag został ogłoszony menadżerem Manchesteru United, to holenderska prasa nie miała wątpliwości, że zgłosi się po piłkarzy, których miał do dyspozycji w Ajaxie. Czerwone Diabły potrzebowały wzmocnień w obronie, więc wybór padł na Martineza. Klub z Old Trafford zapłacił za Argentyńczyka ponad 52 miliony funtów. Martinez podpisał z Czerwonymi Diabłami kontrakt do czerwca 2027 roku, z opcją przedłużenia o dodatkowy rok.
– Będę dawał z siebie 100% w każdym meczu, w każdej sesji treningowej – mówił Martinez po podpisaniu kontraktu. Kibice Czerwonych Diabłów szybko przekonali się, że nie były to słowa rzucone na wiatr.
